Теория для егэ по математике

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

1. Вероятность принимает значения на отрезке от 0 до 1, т.е. .
2. Вероятность невозможного события равна 0, т.е. .
3. Вероятность достоверного события равна 1, т.e. .
4. Если события A и В несовместные, то вероятность их суммы равна сумме их вероятностей, т.е. .

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные  из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Ответ: 0,4

Уровни экзамена

Для выпускников, не нуждающихся в углубленных математических знаниях и не собирающихся использовать предмет при поступлении, доступен упрощенный экзамен – ЕГЭ по базовой математике. Он состоит из заданий с кратким ответом. Чтобы подготовиться к ЕГЭ по математике этого уровня, достаточно усвоить знания в рамках школьной программы и попрактиковаться в решении стандартных заданий. Этот экзамен нужно сдать, чтобы получить аттестат.

ЕГЭ по профильной математике нацелен на поступающих с этим предметом и проверяет не только знание школьного материала, но и умение мыслить нестандартно. Он состоит из заданий с кратким и развернутым ответами

Чтобы подготовиться к ЕГЭ по математике этого уровня, необходимо планомерно изучать материал, уделяя внимание всем разделам. Этот экзамен сдается и ради аттестата (необходимо перейти порог), и ради баллов, которые будут использованы при поступлении

Что изменилось в 2022 в ЕГЭ по профильной математике

И начнем мы с инноваций, которые уже официально утверждены ФИПИ. 

1. Изменения, связанные с заданиями:

     Ура, ликуйте, выпускники, ведь количество заданий уменьшилось. Вариант ЕГЭ по профилю будет состоять из 18 заданий. Правда, изменения коснулись самых любимых одиннадцатиклассниками номеров. Так, например, никогда больше в КИМах мы не увидим первого номера. Это звание теперь гордо носит решение простейшего уравнения (в прошлом номер 5). На место привычного 2 задания встал бывший номер 4 — теория вероятности, а на четвертом месте оказалась планиметрия, которая раньше шла шестым заданием.

     Резко позиции сдал номер 9, ставший в обновленной версии базовым 5. Кстати, раньше это задание имело маркировку повышенной сложности. С 8 на 6 перешла стереометрия, а 10 переместилось на 8. Девятой по счету теперь решаем задачу на движение, сплавы и смеси или проценты.

     А вот в “полку” второй части экзамена по профильной математике явно убыло. В геройском бою потеряло свой пункт 5 задание 13 — теперь отбирать нужные корни заданного промежутка не придется.

     Самые крупные изменения в экзамене по профилю потерпел 15 номер. Когда-то давно эксперты решили упростить задание и вместо системы уравнения и неравенства оставили обычные неравенства. Но в этом году все повернулось на 360 градусов (математики, поняли, о чем мы?). Усложненный вариант вновь будет представлять собой систему уравнения и неравенства.

      Вот и все, что касается изменений непосредственно заданий в ЕГЭ по математике профильного уровня 2022. Двигаемся дальше! 

2. Новые задания на профиле 2022: 

     Да-да, новинками в этом сезоне не обделили и ЕГЭ по математике профильного уровня. Что же нас ждет за этой дверью?

     Задание 3 — анализ функций. Формат, который годами игнорировался на экзамене по профильной математике, появился в 2022. Ух, а вот сейчас пристегивайте ремни, мы вплотную приблизились к заданиям повышенной сложности.Номер 10 из блока «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» и задание 11 на комплексные числа, напомним, раньше на ЕГЭ эту тему не затрагивали в принципе (даже у профильщиков). 

3. Критерии оценивания ЕГЭ по профильной математике 

     По традиции экзамен по профильной математике в 2022 году будет оцениваться по давно разработанной системе первичных баллов. Максимальный балл за выполнение работы увеличился за счет сложности 13 задания: подняли с 2 до 3, за номер 15 теперь максимально можно получить 2 балла. В общей сложности за экзамен по профилю теперь можно получить 31 первичный балл.

     “Ну вот получил я, например, 28, а во вторичных-то это сколько?” — обязательно спросите вы. И мы ответим. Для перевода во вторичную систему существует специально разработанная таблица, ориентироваться в которой предельно просто. Ищем количество набранных баллов в первом столбике и смотрим их перевод во втором. Вуаля, вот и ваш результат!

     А сейчас немного про минимальные пороги. Конечно, мы уверены, что вы превзойдете эти баллы в два, три, а то и все 10 раз, но все-таки знать это необходимо. Итак, чтобы получить аттестат и иметь возможность поступить в вуз, нужно набрать 5 первичных=23 вторичных балла. А если ваша мечта — поступление в подведомственные вузы Минобрнауки, то минимумом будет 7 первичных=33 вторичных балла. 

Как рассчитываются баллы?

Наверняка каждого школьника, в первую очередь, интересует то, как рассчитываются баллы по ЕГЭ. Правильно выполненные номера с 1 по 11 оценивается 1 баллом. Задание защитывается, если дан верный ответ , как целое числа или конечная десятичная дробь. Выполненные задания с развёрнутыми ответами оценивают от 0 до 4 баллов. При полном, правильно выполненном решении каждого из номеров с 12, 14, 15 оценивают 2 баллами; каждый из номеров 13 и 17 – 3 баллами; задачи 17 и 18 – 4 баллами. Выполненные задания 12–18 проверяют эксперты, взяв за основу разработанную систему критериев оценивания.

Как переводить первичные баллы в тестовые?

Результатом проверки экзаменационной работы за верные решения выпускникам выставляются первичные баллы, затем первичные баллы необходимо перевести в балы вторичные или итоговые баллы ЕГЭ

Эти баллы вносятся в сертификат ЕГЭ и принимаются во внимание при поступлении. В этом формате высшие учебные заведения ставят проходной балл.Чтобы правильно перевести первичный балл во вторичные, необходимо применить специальную таблицу.В таблице имеется два цветовых фона

Красным фоном выделяются баллы, которые говорят о том, что экзамен не сдан. Зелёный цвет выделяет минимальный балл, который говорит о том, что порог ЕГЭ выпускник перешёл.

Первичный балл	Тестовый балл
1	5
2	9
3	14
4	18
5	23
6	27
7	33
8	39
9	45
10	50
11	56
12	62
13	68
14	70
15	72
16	74
17	76
18	78
19	80
20	82
21	84
22	86
23	88
24	90
25	92
26	94
27	96
28	98
29	99
30	100
31	100

Советы для школьников

Из полезных и важных требований подготовительного периода нужно выделить 5 пунктов. Во-первых, сразу откажитесь от калькулятора. Считать в уме или в столбик. Во-вторых, убирайте телефон на время домашних занятий. В-третьих, не зацикливайтесь на решении материалов ФИПИ. Задачи со звездочкой в сборниках тоже хорошо готовят к экзамену. В-четвертых, выучите теорему Пифагора, она нужна для 80% задач по планиметрии.

Как готовиться к заданиям повышенной сложности

На каждый из пунктов экзаменационного теста с № 11 по № 19 оставьте по 1−2 занятия (до 2 часов). Пробуйте решать, пользуясь конспектом по теории (он уже должен быть). Не получилось? Берем аналогичные условия упражнения с решением и разбираем до полного понимания. Потом снова решаем. Решать надо много. Без практики на экзамене легко растеряться.

С чего начать

Репетиторы советуют не начинать с массового решения тренировочных тестов. К ним надо относиться, как к способу «измерить» свою готовность, не более. Прорешали один тест, получилась «двойка» — есть четкое понимание, что работать надо по каждой теме. Отработали с десяток тем — можно пробовать еще один тест. Получилось лучше? Значит, двигаетесь в правильном направлении.

Как грамотно распланировать время

В плане распределения времени многое зависит от фактической готовности ученика. Повторимся, нулевые знания к 11 классу — это невозможно. Что-то в голове из пройденного в классе точно осталось. Нужно понять, что, а потом двигаться от простых заданий к сложным задачам:

• посвятите первую треть оставшегося времени повторению теории и изучению формул по кодификатору по математике профильного уровня;
• еще треть времени — на решение задач, специалисты советуют быстро «проскочить» первую часть (повторяем уравнения, систему координат, производные, логарифмы, степени и 2 формулы теории вероятностей), а потом переходить ко второй;
• начните с текстовых задач попроще — № 13, 15 (алгебра — логарифмы и тригонометрические формулы), 17 (неравенства);
• если все получается, можно переходить к пугающим задачам № 14,16 (геометрия);
• последнюю треть времени стоит посвятить самой сложной паре — подготовке к задачам из ЕГЭ под № 18 и 19.

Виды заданий

В 2020 году госэкзамен содержит 19 заданий, которые делятся на два типа. Во-первых, это простые тесты, в которых надо выбрать правильный ответ. Его несложно увидеть на графике. Иногда нужно воспользоваться логикой.

Во-вторых, текстовые задачи. У них есть свои подклассы — вопросы, в которых достаточно расписать по всем правилам ход решения, дать ответ, и упражнения, где нужны не только примеры, но и строгое обоснование (теория, речь о № 18 и 19).

Важные моменты

Текстовых задач многие боятся. На самом же деле они такими уж страшными не являются для их решения нужно:

• вчитаться в суть условия и понять, что хочет видеть в ответе разработчик (80% успеха);
• применять алгоритм (не заученный порядок формул, а именно порядок рассуждений).

Сложность заключается в том, что некоторые учителя еще во время учебного года разбирают текстовые упражнения с учениками, давая готовое решение. Школьники, не особо вдаваясь в рассуждения о том, откуда что берется, заучивают формулировки и формулы. Этого делать не нужно, так легко запутаться. Создателям достаточно будет ввести в условие задачи незначительное изменение, чтобы весь заученный материал оказался бесполезным.

Где чаще всего совершают ошибки

Эксперты отмечают нередкие ошибки в первой части (которая решается элементарно). То ли в спешке, то ли из-за нервов, но ученики пишут скорость не того пешехода, путают плюс и минус. Поэтому привычка постоянно себя перепроверять может спасти вам десятки баллов.

Если идти по списку сложных вопросов, то:

• в № 11 следует внимательно читать условие и не путаться в единицах измерения;
• № 13 и 15 -знать формулы наизусть (первая неделя — учим, последняя — повторяем);
• № 14, 16 — не забудьте составить чертеж, он часто нужен по условию и нередко помогает проверять себя на правильность рассуждений;
• № 17 — применяем алгоритм, а не готовый порядок решения;
• № 19 — к ходу рассуждений добавляем теоретическое обоснование.

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Решение:

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Задача 3.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Решение:

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

.

Ответ: 0,06.

Задача 4.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Задача 5.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение:

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Структура экзамена в 2021

Экзамен профильного уровня включает две части. 

Первая часть состоит из восьми заданий, проверяющих:

• умение решать текстовые задачи,
• умение анализировать графики и диаграммы,
• знание планиметрии,
• знание стереометрии,
• знание вероятностей,
• умение решать уравнения.

Максимальный первичный балл – 8: по баллу за каждое задание.

Вторая часть состоит из четырех заданий с кратким и семи с развернутым ответом:

• умение решать задачи (текстовые, прикладные, экономические, олимпиадные),
• умение анализировать функции,
• умение составлять и решать выражения,
• умение решать уравнения,
• умение решать неравенства,
• умение работать с параметром,
• знание стереометрии,
• знание планиметрии.

Максимальный первичный балл – 24:

• № 9-12 – 1б,
• № 13-15 – 2б,
• № 16-17 – 3б,
• № 18-19 – 5б.

Советы по подготовке к ЕГЭ по профильной математике 2021

Повторите теорию

Не откладывайте на потом. Вспомните все определения, формулы и понятия перед там, как приступать к решению задач. Попробуйте писать формулы по памяти, а потом сверять

И не забывайте: важно не вызубрить темы, а понять их. 

Не пропускайте первую часть

Одна из грубых ошибок — переходить сразу к решению второй части ЕГЭ. Многие задачи из первой решаются довольно просто, но не стоит их недооценивать. Они составлены так, чтобы проверить не только навык решения, но и внимательность к деталям. Прорабатывайте номера из первой части, ведь для достижения цели важен каждый балл. 

Внимательно читайте текст заданий

Смотрите, в каких единицах измерения требуется ответ и нужно ли его округлять

В задании №7 важно понимать, какой график вам дан — производной или функции. От этого зависит ответ на заданный вопрос

В экономической задаче №17 нельзя использовать готовую формулу. Вам нужно написать математическую модель самостоятельно.

Научитесь хорошо считать в уме

Учитесь вычислять без калькулятора — некоторые задания требуют навыка быстрого счёта. К тому же, на экзамене вам нужно оставить как можно больше времени на сложные задачи и проверку.

Проверяйте решения и ответы

Например, убедитесь, что правильно перевели число из обычной дроби в десятичную. Арифметические ошибки также часто встречаются в задаче на финансовую математику

В задании №9 обратите внимание на знаки, особенно если вам попались тригонометрические функции

Также важно без ошибок определить ограничения x в задаче №13. Если исходное уравнение содержит tgx, то — cosx≠0

Если уравнение содержит квадратный корень, подкоренное выражение — ≥0

Если исходное уравнение содержит tgx, то — cosx≠0. Если уравнение содержит квадратный корень, подкоренное выражение — ≥0.

Проверяйте свои знания

Вы можете пройти тест на бесплатном вводном занятии с преподавателем или на сайте ФИПИ. Так вы узнаете, что помните хорошо, а что нужно повторить. Также вы можете воспользоваться нашей библиотекой знаний с полезными материалами для подготовки. Нужно только зарегистрироваться на сайте. 

Не бойтесь второй части 

Смело решайте задания из второй части. Попробуйте справиться с заданиями №13 и №15. Скорее всего, они вам хорошо знакомы. Чаще всего №13 оказывается не таким уж и сложным. Если вы хорошо знаете геометрию, начните с №14 или №16. Если вам по душе алгебра, решайте задачи на параметр и свойства чисел — №18, 19.

Отдыхайте 

Составьте комфортное расписание занятий. Подготовка к ЕГЭ по профильной математике в 2021 не должна быть тяжким бременем. Проводите больше времени на свежем воздухе, встречайтесь с друзьями и не забывайте про здоровый сон. 

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого — 3, для пятого — 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов  В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго — 5 способами, третьего — четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Рекомендации по подготовке

Изучать новый материал необходимо постепенно, применяя его на практике.

• Во-первых, стоит самостоятельно получить все возможные формулы (не только тригонометрические) из формул справочного материала. Каждый новый принцип старайтесь выводить из уже существующего: это поможет их не только запомнить, но и получить на экзамене.
• Во-вторых, правило номер один в геометрии — нет лучше друга, чем треугольник. Выжмите из него максимум: все теоремы, аксиомы, правила и принципы. Они помогут и с другими фигурами.
• В-третьих, решайте как можно больше разнообразных задач. Будет здорово, если вас сможет кто-то направить: учителя или команда профессионалов в онлайн-школе.

Знание структуры экзамена и проверяемых аспектов поможет подготовиться к ЕГЭ по математике на желаемый балл и получить бюджетное место. А заодно здорово прокачать логическое мышление! С ним нигде не пропадешь.